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Conjetura de Collatz para niños

Enciclopedia para niños
Archivo:Collatz-graph-50-no27
Grafo dirigido mostrando como funciona la Conjetura de Collatz, omitiendo los números pares. En la conjetura se hipotetiza que todo número eventualmente termina en 1.

La conjetura de Collatz, conocida también como conjetura 3n+1 o conjetura de Ulam (entre otros nombres), fue enunciada por el matemático Lothar Collatz en 1937, y a la fecha no se ha resuelto.

Enunciado

Archivo:3n1 diagrama
Tiempo de órbita (número de iteraciones) necesario para alcanzar la unidad para números comprendidos entre 1 y 13000.
Archivo:3n1 cota superior
Cota superior para valores entre 1 y 1300. La línea horizontal superior corresponde a la cota 9232. Esta cota es un valor 'preferido' para muchas secuencias, como las que comienzan con 27, 31, 41, 47, 54, 55, 62, 63, etc.

Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero positivo:

  • Si el número es par, se divide entre 2.
  • Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.

Formalmente, esto equivale a una función f:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N}:

f(n) = \begin{cases} \tfrac{n}{2}, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 3n+1, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}

O, de manera equivalente:

f(n) = \begin{cases} \tfrac {\sqrt{2} ^ {n-2} (\tfrac{n}{2})! ({n-1})!!} {\Gamma(n)}, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ \tfrac {{4^{n}2^{n}}({3n+1})!({6n+1})!!} {\Gamma(6n+2)}, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}

Donde se observa la presencia de las funciones factorial, doble factorial y la función gamma.

Dado un número cualquiera, podemos considerar su órbita, es decir, las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, si n=13:

f(13)=13\cdot 3+1=40
f(f(13))=\tfrac{40}{2}=20
f(f(f(13)))=\tfrac{20}{2}=10;\ \mbox{etc.}

Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir, se repite indefinidamente a partir de un momento dado:

13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

La conjetura dice que siempre alcanzaremos el 1 (y por tanto el ciclo 4, 2, 1) para cualquier número con el que comencemos (con excepción de los números 2 y 4, en donde alcanzamos el 1, pero no se cumple el ciclo 4, 2, 1). Ejemplos:

  • Empezando en n = 6, la sucesión tiene 8 pasos, y llega a la siguiente sucesión: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
  • Empezando en n = 11, la sucesión tiene 14 pasos: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
  • Empezando en n = 27, la sucesión tiene 111 pasos, llegando hasta 9232 antes de descender a 1: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
  • Empezando en n = 1002, la sucesión tiene 111 pasos, llegando hasta 9232 antes de descender a 1. Este caso es peculiar, ya que presenta algunas semejanzas con el número 27; como lo es que les toman 111 pasos llegar a 1, en el paso 77 llegan a su punto máximo el cual es 9232 para ambas sucesiones.
  • Empezando en n = 75128138247, la sucesión tiene 1228 pasos para llegar a 1.
  • Empezando en n = 1424652103065, la sucesión tiene 1240 pasos para llegar a 1.
  • Empezando en n = 40523437598309, la sucesión tiene 1250 pasos para llegar a 1.
  • Empezando en n = 32018518596193, la sucesión tiene 1260 pasos para llegar a 1.
  • Empezando en n = 151791495567137, la sucesión tiene 1270 pasos para llegar a 1.
  • Empezando en n = 719604127133093, la sucesión tiene 1280 pasos para llegar a 1.
  • Empezando en n = 1705728301352515, la sucesión tiene 1289 pasos para llegar a 1.
  • Empezando en n = 16172831301712733, la sucesión tiene 1300 pasos para llegar a 1.

Estado actual del problema

Aunque no se ha demostrado la veracidad ni falsedad del resultado, existen ciertas evidencias en ambos sentidos.

Si existe algún contraejemplo a la conjetura (es decir, un número cuya secuencia no alcance nunca el 1), debe satisfacer alguna de estas condiciones:

  • la órbita del número no está acotada; o bien
  • la órbita también es periódica, pero con un período distinto de 4, 2, 1.

Evidencia computacional

Aunque formalmente no demuestra nada, existen diversos grupos de computación que se dedican a calcular las secuencias de números cada vez más grandes. En mayo de 2020 se comprobó la conjetura para todas las secuencias de números menores que 2^{68}.

Resultados parciales

Suma de potencias de exponente par

Los números que son suma de potencias de 2 con exponente par (es decir, suma de potencias de 4), como 5 = 1 + 4, 21 = 1 + 4 + 16, 85 = 1 + 4 + 16 + 64, 341 = 1 + 4 + 16 + 64 + 256, generan el 1 en forma casi directa, como en el ejemplo:

21 · 3 + 1 = 64, que es una potencia de 2 y genera el 1 al dividir 6 veces entre 2.

Suma de potencias más tres

Al agregar un 3 al final a estos números (a partir del 1, el 13, a partir del 5, el 53, a partir del 21, el 213, a partir del 85, el 853, etc), se obtiene 5, a partir del cual se obtiene 1.

213 = 210 + 3

213 · 3 + 1 = 639 + 1 = 640 = 5 · 128

128 es una potencia de 2, por lo que, dividiendo 7 veces entre 2, se llega a 1.

Potencias de dos más uno

Los números que son de la forma (2^n)^2 + 1 generan 3^n + 1 y estos son menores que el número de partida para todo n natural.

3 mod 6

Los números que son de la forma 3 mod 6 pueden considerarse como generadores de números mayores. Por ejemplo, el 31 puede generarse partiendo del 27. De la misma forma, el 111 genera el 334 que pertenece a la sucesión de números que empieza en el 27.

Patrones

Patrón binario

Se ha propuesto el estudio de patrones en sistema binario para el estudio de las propiedades de los números expresados como polinomios de potencias de 2, lo que simplifica el estudio de las propiedades de los mismos. Luego pueden ser demostrados los teoremas correspondientes. Por ejemplo, los números como 5, 21, 85, etc., tienen una expresión del tipo 10101...01 en sistema binario. Esos números son, entonces, los coeficientes de un polinomio en potencias pares de 2.

3 \cdot \left ( 2^0 + 2^2 + ... + \left ( 2^n \right ) ^2 \right ) + 1 = 4 \cdot 4^n

Los números del tipo 111...11 (n unos) que son iguales a 2^n - 1, generan en un primer momento los de este tipo: 1011...111, (n+1 cifras). En un segundo momento se obtiene 10001...1 (n+2 cifras), luego 11010111...1, etc.

Variantes

Existen algunas variantes como, por ejemplo, la conjetura 2n+2, la cual se enuncia exactamente igual cambiando la función de impares a pares, es decir, si el número es impar, se multiplica por 2 y se suma 2.

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Collatz conjecture Facts for Kids

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