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Segundo momento de área para niños

Enciclopedia para niños
Para otros usos de este término, véase Momento de inercia (desambiguación).
Archivo:Polar Moment of Inertia
Esquema de la definición de segundo momento de área desde un punto: el cálculo implica el uso de las distancias al cuadrado
Para una lista de momentos, véase Momentos de inercial de áreas

En la ingeniería estructural, el segundo momento de área, también conocido como segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es una característica importante de la forma de una pieza, como una viga. Imagina que cortas una viga y miras su sección transversal (la forma que ves). Esta propiedad nos ayuda a entender cómo se doblará o resistirá esa pieza cuando se le aplique una fuerza.

El segundo momento de área nos dice qué tan bien una pieza puede soportar fuerzas que la doblan. Cuanto mayor sea este valor, más resistente será la pieza a la flexión. Sus unidades de medida son de longitud a la cuarta potencia, por ejemplo, centímetros a la cuarta (cm4). Es importante no confundirlo con el "momento de inercia de masa", que se usa para objetos que giran.

¿Cómo se calcula el segundo momento de área?

Para calcular el segundo momento de área de una sección plana (como el corte de una viga), se usa una fórmula que considera cada pequeña parte del área y su distancia a un eje.

Definición matemática del segundo momento de área

La fórmula general para calcular el segundo momento de inercia alrededor de un eje es:

I_{\rm eje} = \iint_{\Sigma} r^2 \text{d}A

Donde:

  • Ieje, es el segundo momento de inercia alrededor del eje que elijas.
  • dA, es una porción muy pequeña del área de la sección.
  • r, es la distancia más corta desde esa pequeña porción de área (dA) hasta el eje que elegiste.

Ejes principales de inercia

Cuando estudiamos una sección transversal, podemos definir momentos de inercia para los ejes X e Y. También existe algo llamado "producto de inercia". Estos valores nos ayudan a entender cómo se comporta la pieza.

\begin{cases} I_{x} = \iint_{\Sigma} y^2\ \text{d}x\text{d}y\\ I_{y} = \iint_{\Sigma} x^2\ \text{d}x\text{d}y \\ I_{xy} = \iint_{\Sigma} xy\ \text{d}x\text{d}y = I_{yx} \end{cases}

Si el producto de inercia (Ixy) es cero, significa que los ejes X e Y son "ejes principales de inercia". Esto es importante porque simplifica los cálculos de cómo se doblará la pieza.

¿Qué es el Teorema de Ejes Paralelos?

El teorema de Steiner, también conocido como el teorema de ejes paralelos, es una herramienta muy útil. Nos permite calcular el segundo momento de área de una forma respecto a un eje, si ya conocemos el segundo momento de área respecto a un eje paralelo que pasa por su centro de gravedad (el punto donde se concentra su masa).

Aplicación del teorema de Steiner

Este teorema es muy usado en ingeniería para "mover" el cálculo del segundo momento de inercia de un eje a otro. La fórmula para hacerlo es:

I_{\rm eje} = I_{\rm eje}^{(CM)} + Ad_{\rm eje}^2 \,

Donde:

Ieje - Es el segundo momento de área respecto al nuevo eje.
I(CM)eje - Es el segundo momento de área respecto al eje que pasa por el centro de gravedad.
A - Es el área total de la sección transversal.
d - Es la distancia entre el nuevo eje y el eje que pasa por el centro de gravedad.

Segundo momento de área de figuras comunes

Aquí te mostramos cómo se calcula el segundo momento de área para algunas formas geométricas sencillas, considerando ejes que pasan por su centro de gravedad:

  • Rectángulo (ancho b y altura h):

I_x = {1 \over 12} bh^3, \qquad I_y = {1 \over 12} b^3h \,

  • Triángulo isósceles (base b y altura h):

I_x = {1 \over 36} bh^3, \qquad I_y = {1 \over 48} b^3h \,

  • Triángulo rectángulo (base b y altura h):

I_x = {1 \over 36} bh^3, \qquad I_y = {1 \over 36} b^3h \,

  • Círculo (radio R):

I_x = I_y = {1 \over 4}{\pi}R^4 \,

  • Semicírculo (radio R):

I_x = {\pi R^4 \over 8}-{8R^4 \over 9\pi} \approx 0,10976R^4 \,
I_y = {1 \over 8}{\pi}R^4 \,

  • Cuadrante (cuarto de círculo, radio R):

I_x = I_y = 0,0549R^4 \,

Galería de imágenes

  • PoligonoCualquiera

    Un polígono cualquiera, para el cual también se puede calcular el segundo momento de área.

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Second moment of area Facts for Kids

  • Primer momento de área
  • Radio de giro
  • Momento flector
  • Tensor de inercia
  • Anexo:Pendientes y deformaciones en vigas
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