Rompecabezas MU para niños

El rompecabezas MU es un juego de lógica creado por Douglas Hofstadter y que aparece en su famoso libro Gödel, Escher, Bach. Este rompecabezas usa un sistema de reglas muy simple llamado "MIU". La idea principal de Hofstadter es mostrar la diferencia entre pensar dentro de un sistema de reglas (como resolver un problema siguiendo esas reglas) y pensar sobre el sistema de reglas en sí (como entender por qué ciertas cosas son posibles o imposibles dentro de él). El sistema MIU es un ejemplo de cómo se pueden transformar cadenas de símbolos.

¿En qué consiste el rompecabezas MU?

Imagina que tienes tres símbolos: M, I y U. Puedes combinarlos para formar cadenas de símbolos. El rompecabezas MU te pide que empieces con la cadena inicial MI y la transformes en la cadena MU. Para hacer esto, solo puedes usar las siguientes cuatro reglas de transformación, una a la vez:

¿Tiene solución el rompecabezas MU?

Este rompecabezas no se puede resolver. Es imposible transformar la cadena MI en MU usando solo las reglas dadas. Esto significa que MU no es algo que se pueda obtener dentro del sistema MIU. Para entender por qué, necesitamos pensar "fuera" del sistema de reglas.

Para demostrar que algo así es imposible, a menudo buscamos una invariante. Una invariante es una propiedad que no cambia, sin importar cuántas veces apliques las reglas.

En este caso, la clave está en el número total de letras I en la cadena. Solo las reglas 2 y 3 cambian este número:

• La regla 2 (duplicar la parte después de M) duplica el número de I.
• La regla 3 (cambiar III por U) reduce el número de I en 3.

La propiedad invariante aquí es que el número de letras I en cualquier cadena que puedas formar nunca será divisible por 3.

• Al principio, la cadena MI tiene 1 letra I. El número 1 no es divisible por 3.
• Si duplicas un número que no es divisible por 3 (regla 2), el resultado tampoco será divisible por 3. Por ejemplo, si tienes 1 I, al duplicar tendrás 2 I. Si tienes 2 I, al duplicar tendrás 4 I. Ni 2 ni 4 son divisibles por 3.
• Si restas 3 a un número que no es divisible por 3 (regla 3), el resultado tampoco será divisible por 3. Por ejemplo, si tienes 4 I, al restar 3 te queda 1 I. Si tienes 5 I, al restar 3 te quedan 2 I. Ni 1 ni 2 son divisibles por 3.

Como la cadena objetivo MU tiene cero letras I, y el número 0 sí es divisible por 3, nunca podremos llegar a ella. La propiedad de "no ser divisible por 3" se mantiene siempre.

¿Qué cadenas se pueden obtener en el sistema MIU?

De forma más general, una cadena x se puede obtener a partir de MI si cumple estas tres condiciones:

1. La cadena x solo contiene los símbolos M, I y U.
2. La cadena x siempre empieza con M.
3. El número de letras I en la cadena x no es divisible por 3.

¿Cómo se demuestra esto?

Solo si: Ninguna de las reglas cambia la posición de la M, ni la cantidad de M, ni introduce otros símbolos. Por eso, cualquier cadena que se forme siempre cumplirá las propiedades 1 y 2. Y como vimos antes, la propiedad 3 (el número de I no es divisible por 3) también se mantiene.

Si: Si una cadena x cumple las tres propiedades, se puede demostrar que es posible obtenerla. Es un proceso un poco más complejo que implica usar las reglas de forma estratégica para ajustar el número de I y U hasta llegar a la cadena deseada.

Un ejemplo de cómo se forman cadenas

Para entender cómo se pueden formar cadenas que cumplen las reglas, veamos un ejemplo. La cadena MIIUII cumple las tres propiedades (tiene 4 I y 1 U, y 4 no es divisible por 3). Se puede obtener así:

MI MII MIIII MIIIIIIII MIIIIIIIIIIIIIIII Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \stackrel{3}{\to} MIIIIIIIUIIIIII Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \stackrel{3}{\to} MIIIIIIIUUIII Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \stackrel{3}{\to} MIIIIIIIUUU Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \stackrel{1}{\to} MIIIIIIIUUUU Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \stackrel{4}{\to} MIIIIIIIUU Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \stackrel{4}{\to} MIIIIIII Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \stackrel{3}{\to} MIIUII.

El rompecabezas MU y los números

En el libro Gödel, Escher, Bach, Douglas Hofstadter también muestra cómo el sistema MIU se puede relacionar con las matemáticas, específicamente con la aritmética.

Primero, cada cadena de símbolos M, I y U se puede convertir en un número. Para ello, asignamos:

• M = 3
• I = 1
• U = 0

Por ejemplo, la cadena MIUIU se convertiría en el número 31010.

Segundo, la cadena inicial del rompecabezas, MI, se convierte en el número 31.

Tercero, las cuatro reglas de transformación que vimos antes se pueden expresar como reglas matemáticas que cambian estos números:

Véase también

En inglés: MU puzzle Facts for Kids