Relación transitiva para niños
Una relación transitiva es una regla o conexión entre elementos de un grupo. Imagina que tienes tres cosas: A, B y C. Si A está relacionado con B, y B está relacionado con C, entonces, en una relación transitiva, A también debe estar relacionado con C.
Piensa en ello como una cadena: si el primer eslabón se conecta con el segundo, y el segundo con el tercero, entonces el primer eslabón está conectado con el tercero a través de la cadena.
En matemáticas, si tenemos un conjunto de elementos (como números o personas) y una relación (como "es mayor que" o "es amigo de"), decimos que la relación es transitiva si se cumple lo siguiente:
Si un elemento a se relaciona con un elemento b, Y ese elemento b se relaciona con un elemento c, ENTONCES el elemento a también se relaciona con el elemento c.
Esta propiedad se llama transitividad.
Contenido
¿Qué es una Relación Transitiva?
Una relación es transitiva cuando sigue una lógica de "si... y... entonces...". Es decir, si la relación se cumple entre el primer y el segundo elemento, y también entre el segundo y el tercer elemento, entonces debe cumplirse directamente entre el primer y el tercer elemento.
Por ejemplo, si decimos que "ser más alto que" es una relación:
- Si Juan es más alto que Pedro.
- Y Pedro es más alto que Ana.
- Entonces, Juan es más alto que Ana.
Esta relación es transitiva.
Ejemplos de Relaciones Transitivas
Muchas relaciones que usamos a diario son transitivas. Aquí te mostramos algunas:
Relaciones de Orden
Las relaciones de orden son muy comunes en matemáticas y son casi siempre transitivas.
- "Menor o igual que" (≤):
* Si tienes los números 2, 5 y 7. * Sabemos que 2 es menor o igual que 5 (2 ≤ 5). * Y 5 es menor o igual que 7 (5 ≤ 7). * Entonces, 2 es menor o igual que 7 (2 ≤ 7). * Esto se cumple siempre para cualquier número.
- "Mayor que" (>):
* Si 10 es mayor que 7. * Y 7 es mayor que 3. * Entonces, 10 es mayor que 3.
- "Igual a" (=):
* Si A es igual a B. * Y B es igual a C. * Entonces, A es igual a C.
Relación de Divisibilidad
La relación "divide a" entre números naturales también es transitiva.
- Si un número a divide a un número b.
- Y ese número b divide a un número c.
- Entonces, el número a también divide a c.
Por ejemplo:
- 3 divide a 12 (porque 12 ÷ 3 = 4).
- 12 divide a 48 (porque 48 ÷ 12 = 4).
- Según la transitividad, 3 debe dividir a 48 (y sí, 48 ÷ 3 = 16).
Ejemplos de Relaciones No Transitivas
No todas las relaciones son transitivas. Algunas relaciones pueden parecerlo, pero no cumplen la regla de "si... y... entonces...".
"Ser la mitad de"
- 5 es la mitad de 10.
- 10 es la mitad de 20.
- Pero 5 no es la mitad de 20. (Es la cuarta parte).
Por lo tanto, la relación "ser la mitad de" no es transitiva.
"Ser amigo de"
Esta relación puede ser complicada.
- Si Ana es amiga de Luis.
- Y Luis es amigo de Sofía.
- ¿Significa que Ana es amiga de Sofía? No necesariamente. Podrían no conocerse o no llevarse bien.
Así que, "ser amigo de" no es una relación transitiva.
"No es subconjunto de"
En matemáticas, un subconjunto es un grupo de elementos que están dentro de otro grupo más grande. La relación "no es subconjunto de" no es transitiva.
- Imagina el conjunto X = {1, 2, 3}.
- El conjunto Y = {2, 3, 4, 5}.
- El conjunto Z = {1, 2, 3, 4}.
- X no es subconjunto de Y (porque X tiene el 1 y Y no).
- Y no es subconjunto de Z (porque Y tiene el 5 y Z no).
- Pero X sí es subconjunto de Z (todos los elementos de X están en Z).
Como puedes ver, la regla de transitividad no se cumple aquí.
Representación de Relaciones Transitivas
Las relaciones se pueden mostrar de diferentes maneras, como listas de pares o dibujos.
- Como pares ordenados: Si tienes una lista de conexiones (como (a,b) y (b,c)), para que la relación sea transitiva, siempre debe existir también la conexión (a,c) en esa lista.
- Como un grafo: Un grafo es como un mapa con puntos (llamados nodos) y líneas (llamadas aristas) que los conectan. Si puedes ir de un nodo a otro pasando por un nodo intermedio, entonces, en una relación transitiva, también debe haber una línea directa que conecte el primer nodo con el último.
Galería de imágenes
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Ejemplo: Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.
Véase también
En inglés: Transitivity (mathematics) Facts for Kids
