Postulado de Bertrand para niños
El postulado de Bertrand es una idea interesante en matemáticas que trata sobre los números primos. Dice que si tienes un número entero n que sea mayor que 1, siempre encontrarás al menos un número primo p que esté entre n y el doble de n (es decir, 2n).
Para entenderlo mejor: si tomas cualquier número mayor que 1, siempre habrá un número primo escondido entre ese número y su doble. Por ejemplo, si tomas el número 3, su doble es 6. Entre 3 y 6, encontramos el número primo 5. Si tomas el número 7, su doble es 14. Entre 7 y 14, puedes encontrar los primos 11 y 13.
Este postulado fue propuesto por primera vez en 1845 por un matemático francés llamado Joseph Bertrand (1822-1900). Bertrand mismo comprobó que era cierto para números hasta 3,000,000.
La prueba de esta idea fue encontrada por otro matemático, Chebyshov (1821-1894), en 1850. Por eso, a veces este postulado también se conoce como teorema de Bertrand-Chebyshov o teorema de Chebyshov. Más tarde, el famoso matemático Ramanujan (1887-1920) encontró una forma más sencilla de demostrarlo.
Si quieres ver cómo se demuestra este postulado, puedes buscar el artículo Demostración del postulado de Bertrand.
Contenido
¿Qué es el Teorema de los Números Primos?
El teorema de los números primos es una herramienta matemática que nos ayuda a entender cuántos números primos hay hasta un cierto número. Este teorema nos dice que, a medida que los números se hacen muy grandes, la cantidad de primos hasta un número x es aproximadamente x dividido por el logaritmo natural de x (ln(x)).
Esto significa que, si comparamos la cantidad de primos hasta n con la cantidad de primos hasta 2n, veremos que hay aproximadamente el doble de primos hasta 2n. Por lo tanto, el postulado de Bertrand, que solo garantiza la existencia de un primo entre n y 2n, es una afirmación más sencilla comparada con lo que nos dice el Teorema de los Números Primos.
El Teorema de Chebyshov (el postulado de Bertrand demostrado) se probó antes que el Teorema de los Números Primos, por eso es importante en la historia de las matemáticas.
Ideas Similares y Generalizaciones
Algunos matemáticos han explorado ideas parecidas al postulado de Bertrand. Por ejemplo, la conjetura de Legendre pregunta si siempre hay un número primo entre un número al cuadrado (n2) y el siguiente número al cuadrado ((n + 1)2). Esta conjetura aún no ha sido demostrada.
A lo largo del tiempo, se han encontrado otras generalizaciones del postulado de Bertrand. Por ejemplo, en 2006, el matemático M. El Bachraoui demostró que siempre existe un número primo entre 2n y 3n. En 1973, Denis Hanson demostró que hay un primo entre 3n y 4n. Esto muestra que la idea de Bertrand se puede extender a otros rangos de números.
El Teorema de Sylvester
El postulado de Bertrand fue útil para estudiar los grupos de permutación, que son importantes en matemáticas. Sylvester (1814-1897) generalizó la idea de Bertrand. Él propuso que si multiplicas k números enteros seguidos que sean mayores que k, el resultado siempre será divisible por un número primo que sea mayor que k.
Si aplicamos esta idea al caso del postulado de Bertrand, tomando k igual a n, y consideramos los números desde n + 1 hasta 2n, el teorema de Sylvester nos asegura que uno de esos números tendrá un factor primo mayor que n. Como todos esos números son menores que 2(n + 1), el número con un factor primo mayor que n debe ser un número primo. Así, se confirma que hay un primo p entre n y 2n.
Contribuciones de Erdős
En 1932, Erdős (1913-1996) publicó una demostración más sencilla del postulado de Bertrand usando herramientas matemáticas como los coeficientes binomiales.
Erdős también demostró en 1934 que, para cualquier cantidad de primos k que queramos, siempre hay un número N a partir del cual, para cualquier n mayor que N, encontraremos al menos k números primos entre n y 2n. Esto significa que no solo hay un primo, sino que puede haber muchos más a medida que los números crecen.
Resultados Más Recientes
Los matemáticos han seguido investigando y han encontrado resultados aún más precisos sobre la existencia de primos en ciertos intervalos. Por ejemplo, en 1952, Jitsuro Nagura demostró que para cualquier número n mayor o igual a 25, siempre hay un número primo entre n y n más un quinto de n.
Más recientemente, Pierre Dusart ha mejorado estos resultados varias veces. En 2016, demostró que si x es un número grande (mayor o igual a 89,693), siempre hay al menos un primo p en el intervalo entre x y x más una pequeña fracción de x. Estos estudios continúan mostrando lo fascinante que es el mundo de los números primos.
Consecuencias Interesantes
- La secuencia de números primos, junto con el número 1, es una "secuencia completa". Esto significa que cualquier número entero positivo se puede escribir como una suma de primos (y el 1), usando cada uno como máximo una vez.
- El único número armónico que es un número entero es el número 1.
Véase también
En inglés: Bertrand's postulate Facts for Kids
- Conjetura de Oppermann
- Diferencia entre dos números primos consecutivos
- Demostración del postulado de Bertrand
