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Función inversa para niños

Enciclopedia para niños
Archivo:Inverse Function
Una función ƒ y su función inversa ƒ–1. Como ƒ aplica a en 3, la función inversa ƒ–1 retorna 3 en a.

En matemáticas, especialmente en análisis matemático, si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la función inversa de f.

Definiciones formales

Sea f una función real biyectiva cuyo responsable o dominio sea el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función inversa de f, denotada f^{-1}, es la función de dominio J y codominio I definida por la siguiente regla:

f(x) = y\Leftrightarrow{}f^{-1}(y) = x\text{.}\,\!

Destaquemos que f^{-1}, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

  • f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_i y
  • f \circ f^{-1}=\operatorname{id}_j.

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativas

Archivo:Función reciproca esquema

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

  1. g \circ f = \operatorname{id}_I y
  2. f \circ g= \operatorname{id}_J,

entonces:

  • Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
  • Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
  • Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa como definición de función inversa.

Notación alternativa

La notación tradicional f^{-1} puede ser confusa, ya que puede dar a entender \frac{1}{f} . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

  • f^\star:B \rightarrow A

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número -1:

  • f^-:B \rightarrow A \,.

Propiedades algebraicas

Archivo:Composition of Inverses
Inversión del orden en la composición de funciones.
  • La función inversa de la composición de dos funciones, siempre que tengan su función inversa, viene dada por la fórmula
(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,
  • La involución: la función inversa de la función inversa de la función f , si existe, es la misma función f.
\left(f^{-1}\right)^{-1} = f
Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas:  f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_{X} y  f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_{Y}.

Propiedades analíticas de funciones reales de una variable

Continuidad

  • f y f^{-1} son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular f =f^{-1}.
  • Además, en tal caso f y f^{-1} son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).

Gráfica de la función inversa

Archivo:Función recíproca
Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.
  • Las gráficas que representan f y g=f^{-1} son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta y=x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M' pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y= f(x) y la segunda x =g(y) y son por definición equivalentes.
  • Las tangentes en M y M' tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)f'(x)= 1.

Derivación

  • f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
  • Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

Ejemplos

Archivo:RootAndPowerFunctions
En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.
  • Por construcción misma, la función raíz cuadrada es función inversa de función cuadrática , con dominio restringido a los números reales no negativos, x \rightarrow x^2 Es decir, cada una de las dos funciones siguientes son una función inversa de la otra:

\begin{cases} f:\R^+ \to \R^+ \\ x \mapsto x^2 \end{cases} \qquad 
\begin{cases} g:\R^+ \to \R^+ \\ x \mapsto \sqrt{x} \end{cases} \qquad
f\circ g (x)= g\circ f (x) = x

  • Más generalmente, la función raíz positiva de orden n de un número positivo es la función inversa de la función potencia definida por x \rightarrow x^n.
  • También por construcción, la función exponencial es la función inversa de la función logaritmo natural.
  • Por definiciones muy adecuadas, arccos, arcsen y arctan son las funciones inversas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que facilita hallar sus derivadas:
Para f(x) = \cos(x) = y, g(y) = f^{-1}(y) = \arccos(y), y utilizando \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 se obtiene: g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{-\sin(x)} = \frac{1}{-\sqrt{1-\cos^2(x)}} = \frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}
Para f(x) = \tan(x) = y, g(y) = f^{-1}(y) = \arctan(y), y utilizando \tan'(x) = 1 + \tan^2(x) se obtiene: g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{1 + \tan^2(x)} = \frac{1}{1+y^2}

Se generaliza el concepto de función a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones inversas.

  • En otras ocasiones una función inversa puede existir y estar bien definida pero no puede escribirse en términos de funciones elementales, como sucede con la función f:

\begin{cases} f:\R \to [-1,1]\\ x \mapsto
\cfrac{1}{2\pi}\left[ \ln\left(\cfrac{x^2+x\sqrt{2}+1}{x^2-x\sqrt{2}+1}\right) + 2\arctan(x\sqrt{2}+1)+2\arctan(x\sqrt{2}-1) \right] =
\sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k x^k}{4k+1}\end{cases}

Aunque la función inversa se puede aproximar mediante desarrollo en serie de Taylor:

f^{-1}(x) \approx x + \frac{x^5}{5} + \dots

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Inverse function Facts for Kids

  • Teorema de la función inversa, condiciones suficientes para la existencia de una función inversa continua y diferenciable.
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Función inversa para Niños. Enciclopedia Kiddle.