Espacio de Sóbolev para Niños

Un espacio de Sóbolev es un tipo de espacio vectorial funcional, dotado de una norma de tipo L^p, tal que la función y sus derivadas hasta cierto orden tienen norma finita. Un espacio de Sóbolev puede ser considerado como un subespacio de un espacio L^p, estos espacios reciben su nombre del matemático ruso Serguéi Sóbolev.

Espacios $W^{m,p}(\Omega)$

Un espacio de Sóbolev es un espacio vectorial normado de funciones, que puede verse como un subespacio de un espacio L^p. De hecho un espacio de Sóbolev es un subespacio vectorial del espacio L^p formado por clases de funciones tales que sus derivadas hasta orden m pertenecen también a L^p. Dado un dominio $\scriptstyle \Omega\subset\R^n$ el espacio de Sobolev $\scriptstyle W^{m,p}(\Omega)\,$ se define como:

$W^{m,p}(\Omega)=\{f\in L^p(\Omega) |\ D^\alpha f\in L^p(\Omega),\ \forall \alpha\in\mathbb{N}^n: |\alpha| \le m\ \} \subset L^p(\Omega)$

Donde $D^\alpha f\,$ es la notación multi-índice para las derivadas parciales. Debe tenerse presente que dicho espacio, al igual que L^p(Ω), está de hecho formado realmente por clases de equivalencia de funciones.

La norma del espacio de Sóbolev se define a partir de la norma $\|\cdot\|_{L^p(\Omega)}$ de L^p:

$\|f\|_{m,p,\Omega} = \left[ \sum_{|\alpha|\le m} \|D^\alpha f\|^p_{L^p(\Omega)} \right]^{1/p}, \qquad 1 \le p < \infty$

$\|f\|_{m,\infty,\Omega} = \max_{|\alpha|\le m} \|D^\alpha f\|_{L^\infty(\Omega)}$

Algunas propiedades interesantes son:

Los espacios de Sóbolev son reflexivos, es decir isomorfos a su espacio bidual, para $\scriptstyle 1 < p < \infty$
El espacio de Sóbolev $\textstyle W^{0,p}(\Omega) = L^p(\Omega)$
$\textstyle W^{m,p}(\Omega) \hookrightarrow \hookrightarrow W^{k,p}(\Omega)$ si $\textstyle m>k$
$\textstyle C^m(\bar\Omega) \hookrightarrow W^{m,p}(\Omega)$
$\textstyle C^\infty(\bar\Omega) \cap W^{m,p}(\Omega)$ es denso en $\textstyle W^{m,p}(\Omega)$

Esta última propiedad permite definir un subespacio de clases de equivalencia de funciones que se anulan sobre la frontera, a partir de la clausura topológica:

$W^{m,p}_0(\Omega) = \overline{W^{m,p}(\Omega) \cap C^\infty_0(\Omega)}$

Espacios $H^m(\Omega)$

Los espacios de Sóbolev, con $p = 2\,$ están dotados de manera natural de la estructura de espacio de Hilbert al igual que los espacios L²:

$H^m(\Omega) \equiv W^{m,2}(\Omega)$

Donde el producto interno se define a partir del producto interno de L²:

$(f,g)_{H^m(\Omega)} = \sum_{|\alpha| \le m} (D^\alpha f, D^\alpha g)_{L^2(\Omega)}$

Análogamente al caso de los espacios $W^{m,p}_0(\Omega)$ se define el espacio:

$H^m_0(\Omega) = \overline{H^m(\Omega) \cap C^\infty_0(\Omega)}$

Ejemplo

Dado el intervalo [a, b], se puede definir el espacio de Sobolev $\scriptstyle H^1([a,b])$ a partir del espacio de funciones continuamente diferenciables sobre [a, b] con un producto escalar obtenido por la integral definida desde a hasta b, de la suma de los productos de funciones con el producto de sus derivadas:

(*) $\int_a^b [x(t) y(t)+x'(t)y'(t)]dt$

Dicho espacio no es completo; su completación es un espacio de Hilbert llamado espacio de Sóbolev y denotado H $^1$ .

Propiedad: El espacio $\scriptstyle H^1([a,b])$ está encajado en el espacio de las funciones continuas $\scriptstyle C^1[a,b]$ .

Véase también

En inglés: Sobolev space Facts for Kids

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