Equivalencia lógica para niños
En el mundo de la lógica, decimos que dos afirmaciones, como "p" y "q", son lógicamente equivalentes si significan lo mismo o tienen el mismo "contenido lógico". Esto quiere decir que, sin importar la situación o el "modelo" que estemos analizando, ambas afirmaciones siempre tendrán el mismo valor de verdad. Es decir, si una es verdadera, la otra también lo será, y si una es falsa, la otra también. La equivalencia lógica de "p" y "q" a veces se escribe como 
o 
.
Contenido
¿Qué son las Equivalencias Lógicas?
Las equivalencias lógicas son como reglas o leyes que nos ayudan a transformar una afirmación en otra sin cambiar su significado. Imagina que son atajos o trucos para simplificar o entender mejor las ideas en lógica. Aquí te presentamos algunas de las más importantes:
| Equivalencia | Nombre | Explicación Sencilla |
|---|---|---|
| p∧V≡p p∨F≡p |
Leyes de identidad | Si una afirmación "p" es verdadera y la combinas con algo que siempre es verdad (V), sigue siendo "p". Si la combinas con algo que siempre es falso (F), sigue siendo "p". |
| p∨V≡V p∧F≡F |
Leyes de dominación | Si "p" es verdadera o algo que siempre es verdad (V), el resultado siempre es verdad. Si "p" es falsa y algo que siempre es falso (F), el resultado siempre es falso. |
| p∨p≡p p∧p≡p |
Leyes de idempotencia | Si dices "p" o "p", es lo mismo que decir solo "p". Si dices "p" y "p", también es lo mismo que decir solo "p". |
| ﹁(﹁p)≡p | Leyes de doble negación | Negar algo dos veces es como afirmarlo. Por ejemplo, "no es cierto que no llueve" significa "llueve". |
| p∨q≡q∨p p∧q≡q∧p |
Leyes de conmutación | El orden de las afirmaciones no cambia el resultado. "p o q" es lo mismo que "q o p". "p y q" es lo mismo que "q y p". |
| (p∨q)∨r≡p∨(q∨r) (p∧q)∧r≡p∧(q∧r) |
Leyes de asociación | Puedes agrupar las afirmaciones de diferentes maneras sin cambiar el resultado. |
| p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r) |
Leyes de distribución | Puedes "distribuir" una operación sobre otra, como en matemáticas. |
| ﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q ﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q |
Leyes de De Morgan | Estas leyes nos dicen cómo negar afirmaciones que usan "y" o "o". Por ejemplo, "no (p y q)" es lo mismo que "no p o no q". |
| p∨(p∧q)≡p p∧(p∨q)≡p |
Leyes de absorción | Si una afirmación "p" está presente en una combinación más compleja, a veces "absorbe" la otra parte. |
| p∨﹁p≡V p∧﹁p≡F |
Leyes de negación | Una afirmación "p" o su negación "no p" siempre es verdadera. Una afirmación "p" y su negación "no p" siempre es falsa. |
Equivalencias con Afirmaciones Condicionales
Las afirmaciones condicionales son las que usan "si... entonces...". Aquí hay algunas formas de reescribirlas sin cambiar su significado:
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): p \rightarrow q \equiv \neg p \lor q : "Si p, entonces q" es lo mismo que "no p o q".
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): p \rightarrow q \equiv \neg q \rightarrow \neg p : "Si p, entonces q" es igual a "Si no q, entonces no p". Esto se llama contraposición.
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \neg (p \rightarrow q) \equiv p \land \neg q : "No es cierto que si p, entonces q" es lo mismo que "p y no q".
Equivalencias con Afirmaciones Bicondicionales
Las afirmaciones bicondicionales usan "si y solo si" (p↔q). Significan que dos cosas son verdaderas o falsas al mismo tiempo.
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p) : "p si y solo si q" es lo mismo que "si p entonces q, y si q entonces p".
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): p \leftrightarrow q \equiv (\neg p \leftrightarrow \neg q) : "p si y solo si q" es lo mismo que "no p si y solo si no q".
Un Ejemplo para Entender Mejor
Veamos un ejemplo para que quede más claro:
- Si Lisa está en Francia, entonces ella está en Europa. (En símbolos:
) - Si Lisa no está en Europa, entonces ella no está en Francia. (En símbolos:
)
Estas dos frases son lógicamente equivalentes. ¿Por qué? Porque si la primera frase es verdadera, la segunda también lo es, y viceversa. Si Lisa está en Francia, automáticamente está en Europa. Y si no está en Europa, ¡definitivamente no puede estar en Francia! Ambas frases nos dicen lo mismo, solo que de una manera diferente.
Diferencia entre Equivalencia Lógica y Equivalencia Material
Es importante saber que la equivalencia lógica es diferente de la equivalencia material.
La equivalencia material (escrita a menudo Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): p \leftrightarrow q ) es una afirmación dentro de un sistema lógico que dice "p si y solo si q". Su valor de verdad puede cambiar dependiendo de la situación.
La equivalencia lógica, en cambio, es una idea más profunda. No es una afirmación dentro del sistema, sino una forma de describir la relación entre dos afirmaciones. Cuando decimos que "p" y "q" son lógicamente equivalentes, estamos diciendo que, en cualquier situación posible, "p" y "q" siempre tendrán el mismo valor de verdad. Es una verdad que no cambia.
Existe una conexión muy cercana entre ambas. Dos afirmaciones "p" y "q" son lógicamente equivalentes si la afirmación "p si y solo si q" (Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): p \leftrightarrow q ) es siempre verdadera en todos los casos posibles.
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Equivalencia lógica
Véase también
En inglés: Logical equivalence Facts for Kids
