Elemento supremo e ínfimo para Niños

Para otros usos de este término, véase suprema.

Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A (diamante rojo).

En matemáticas, dado un subconjunto $S$ de un conjunto parcialmente ordenado $\left(P, < \right)$ , el supremo de $S$ , si existe, es el mínimo elemento de $P$ que es mayor o igual a cada elemento de $S$ . En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de $S$ . El supremo de un conjunto $S$ comúnmente se denota como $\sup S$ .

Definiciones

Sea $T$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ .

Si $T$ está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de $T$ si es menor que cualquier cota superior de $T$ . En tal caso, a esa cota superior se le denota $\sup T$ .
Si $T$ está acotado por de abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de $T$ si es mayor que cualquier cota inferior de $T$ . En tal caso, a esa cota inferior se le denota $\inf T.$

Propiedades

En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.

$s$ es supremo del subconjunto $T$ no vacío del conjunto $\mathbb{R}$ de números reales si es cota superior de $T$ y si, y solo si para toda $\varepsilon > 0$ existe $s_\varepsilon$ en $T$ tal que $s-\varepsilon < s_\varepsilon$ .

$r$ es ínfimo del subconjunto $T$ no vacío del conjunto $\mathbb{R}$ de números reales si es cota inferior de $T$ y si, y solo si para toda $\varepsilon > 0$ existe $r_\varepsilon$ en $T$ tal que $r+\varepsilon > r_\varepsilon$ .

Sean $L$ un subconjunto acotado de números reales y $K$ un subconjunto no vacío de $L$ . Se cumple que $\inf L \le \inf K \le \sup K \le \sup L$ .

Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
$\sup(A \cup B)= \max\{\sup(A),\sup(B)\}$ , si es que dichos supremos existen
$\inf(A \cup B)= \min\{\inf(A),\inf(B)\}$ , si es que dichos ínfimos existen
Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.

Ejemplos

$\sup \{ 1, 2, 3 \} = 3\,$
$\inf \{ 1, 2, 3 \} = 1\,$
$\sup \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x < 1 \} = \sup \{ x \in \mathbb{R} | 0 \leq x \leq 1 \} = 1\,$
$\inf \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x < 1 \} = \inf \{ x \in \mathbb{R} | 0 \leq x \leq 1 \} = 0\,$

$\sup \{ x \in \mathbb{Q^{+}} | x^2 \leq 2 \} = \sqrt{2}\,$
$\inf \{ x \in \mathbb{Q^{+}} | x^2 < 2 \} = 0\,$
$\sup \left\{ (-1)^n - \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \right\} = 1\,$
$\inf \left\{ \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \right\} = 0\,$

Véase también

En inglés: Infimum and supremum Facts for Kids

Acotado

Elemento maximal y minimal
Elemento máximo y mínimo

Elemento mayorante y minorante
Elemento mayor y menor

Elemento supremo e ínfimo

Literatura de consulta

Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.
Weisstein, Eric W. «Supremum function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

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