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Elasticidad de sustitución para niños

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La Elasticidad de sustitución es la elasticidad de la relación de dos argumentos de una función de producción (o utilidad) con respecto a la relación de sus productos marginales (o utilidades). Mide la curvatura de una isocuanta y, por tanto, la posibilidad de sustitución entre factores (o bienes), es decir, qué tan fácil es sustituir un factor (o bien) por el otro.

Definición matemática

Sea U(c_1,c_2) la utilidad que el consumo genera. Entonces, la elasticidad de sustitución viene dada por:

E_{21} =\frac{d \ln (c_2/c_1) }{d \ln (TMS_{12})} =\frac{d \ln (c_2/c_1) }{d \ln (U_{c_1}/U_{c_2})} =\frac{\frac{d (c_2/c_1) }{c_2/c_1}}{\frac{d (U_{c_1}/U_{c_2})}{U_{c_1}/U_{c_2}}} =\frac{\frac{d (c_2/c_1) }{c_2/c_1}}{\frac{d (p_1/p_2)}{p_1/p_2}}

donde (TMS) es la tasa marginal de sustitución. La última igualdad presenta TSM_{12} = p_1/p_2 que es una relación de las condiciones de primer orden para un problema de maximización de la utilidad de los consumidores. Intuitivamente estamos viendo cómo las decisiones relativas del consumidor sobre artículos de consumo cambian a medida que cambian los precios relativos.

Tenga en cuenta también que E_{21} = E_{12}:

E_{21} =\frac{d \ln (c_2/c_1) }{d \ln (U_{c_1}/U_{c_2})} =\frac{d \left(-\ln (c_1/c_2)\right) }{d \left(-\ln (U_{c_2}/U_{c_1})\right)} =\frac{d \ln (c_1/c_2) }{d \ln (U_{c_2}/U_{c_1})} = E_{12}

Una caracterización equivalente de la elasticidad de sustitución es:

E_{21} =\frac{d \ln (c_2/c_1) }{d \ln (MRS_{12})} =-\frac{d \ln (c_2/c_1) }{d \ln (MRS_{21})} =-\frac{d \ln (c_2/c_1) }{d \ln (U_{c_2}/U_{c_1})} =-\frac{\frac{d (c_2/c_1) }{c_2/c_1}}{\frac{d (U_{c_2}/U_{c_1})}{U_{c_2}/U_{c_1}}} =-\frac{\frac{d (c_2/c_1) }{c_2/c_1}}{\frac{d (p_2/p_1)}{p_2/p_1}}

En los modelos de tiempo discreto, la elasticidad de sustitución del consumo entre períodos t y t+1 se conoce como elasticidad de sustitución intertemporal.

Del mismo modo, si la función de producción es f(x_1,x_2) entonces la elasticidad de sustitución es:

\sigma_{21} =\frac{d \ln (x_2/x_1) }{d \ln MRTS_{12}} =\frac{d \ln (x_2/x_1) }{d \ln (\frac{df}{dx_1}/\frac{df}{dx_2})} =\frac{\frac{d (x_2/x_1) }{x_2/x_1}}{\frac{d (\frac{df}{dx_1}/\frac{df}{dx_2})}{\frac{df}{dx_1}/\frac{df}{dx_2}}} =-\frac{\frac{d (x_2/x_1) }{x_2/x_1}}{\frac{d (\frac{df}{dx_2}/\frac{df}{dx_1})}{\frac{df}{dx_2}/\frac{df}{dx_1}}}

donde TMST es la tasa marginal de sustitución técnica .

La inversa de la elasticidad de sustitución es la elasticidad de la complementaria.

Ejemplo

Considere la función de producción Cobb-Douglas f(x_1,x_2)=x_1^a x_2^{1-a}.

La tasa marginal de sustitución técnica es

MRTS_{12} = \frac{a}{1-a} \frac{x_2}{x_1}

Es conveniente cambiar las anotaciones y denotar

\frac{a}{1-a} \frac{x_2}{x_1}=\theta

Reescribiendo esto, obtenemos

\frac{x_2}{x_1} = \frac{1-a}{a}\theta

Entonces, la elasticidad de sustitución es:

\sigma_{21} = \frac{d \ln (\frac{x_2}{x_1}) }{d \ln MRTS_{12}} = \frac{d \ln (\frac{x_2}{x_1}) }{d \ln (\frac{a}{1-a} \frac{x_2}{x_1})} = \frac{d \ln (\frac{1-a}{a}\theta) }{d \ln (\theta)} = \frac{d \frac{1-a}{a}\theta}{d \theta} \frac{\theta}{\frac{1-a}{a}\theta}=1

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Elasticity of substitution Facts for Kids

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