Coordenadas esféricas para niños

Elementos de las coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio $r$ , el ángulo polar o colatitud $\theta$ y el azimutal $\varphi$ .

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del azimutal, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -180° a +180° (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Contenido

Convenios utilizados
- Convenio internacional
- Convenio estadounidense
Relación con otros sistemas de coordenadas
- Relación con las coordenadas cartesianas
- Relación con las coordenadas cilíndricas
Líneas y superficies coordenadas
Base coordenada
Diferenciales de línea, superficie y volumen
Operadores diferenciales en coordenadas esféricas
Véase también

Convenios utilizados

Convenio internacional

La mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos escriben:

$\varphi$ , el azimutal : de 0° a 360°
$\theta$ , la colatitud : de 0° a 180°

Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:

0 \leq r <\infty\qquad 0\leq \theta\leq \pi\qquad 0\leq \varphi< 2\pi

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de $r$ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, $r$ ; vuelve a aumentar, pero $\theta$ pasa a valer π- $\theta$ y $\varphi$ aumenta o disminuye en π radianes. TRP

Convenio estadounidense

Actualmente, el convenio usado en los EE. UU. no es el mismo que el europeo. Para denotar el ángulo azimutal se usa $\theta$ y para referirse al polar, latitud o colatitud se usa $\varphi$ .

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Sobre los conjuntos abiertos:

U = \{(r,\theta,\varphi) | r>0, 0< \theta < \pi, 0\leq \varphi <2\pi\} \qquad \mbox{y} \qquad V = \{(x,y,z) | x^2+y^2+z^2>0 \}

Existe una correspondencia unívoca $F:V\to U$ entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones:

r = \sqrt{x^2 + y^2+z^2}\qquad \theta= \begin{cases} \arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z>0 \\ \frac{\pi}{2} & z = 0 \\ \pi+\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z<0 \end{cases} \qquad \varphi=\begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x>0\mbox{ y } y>0 \mbox{ (1° Q)}\\ 2\pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right)& x>0 \mbox{ y } y<0 \mbox{ (4° Q)}\\ \frac{\pi}{2}\mbox{sgn}(y) & x = 0\\ \pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0 \mbox{ (2° y 3° Q)}\end{cases}

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje $z\,$ , donde $x^2 + y^2 = 0$ , en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto $(x,\ y,\ z)$ tal que $x = 0\;$ .

La función inversa $F^{-1}$ entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas:

x = r\sin\,\theta\,\cos\varphi \qquad y = r\sin\,\theta\sin\,\varphi\qquad z = r \,\cos\theta

Siendo su jacobiano: $\left\vert J \right\vert = r^2\sin\theta$

Coordenadas esféricas y ejes cartesianos relacionados

Relación con las coordenadas cilíndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones

r = \sqrt{\rho^2+z^2}\qquad \theta=\arctan\left(\frac{\rho}{z}\right)\qquad \varphi=\varphi

y sus inversas

\rho = r\,{\sin}\,\theta \qquad \varphi = \varphi\qquad z = r \,\cos\theta

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:

Líneas coordenadas $r$ : Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.
Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijando sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

Superficies $r$ =cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

\hat{r} = {\sin}\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + {\sin}\theta\,{\sin}\,\varphi\,\hat{y} + \cos\theta \hat{z}

\hat{\theta} = \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + \cos\theta\,{\sin}\,\varphi\,\hat{y} - {\sin}\theta \hat{z}

\hat{\varphi} = -{\sin}\varphi\,\hat{x} + \cos\,\varphi\,\hat{y}

e inversamente

\hat{x} = {\sin}\theta\,\cos\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{\theta} - {\sin}\,\varphi\,\hat{\varphi}

\hat{y} = {\sin}\theta\,{\sin}\,\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,{\sin}\,\varphi\,\hat{\theta}+\cos\,\varphi\, \hat{\varphi}

\hat{z} = \cos\theta\,\hat{r}- {\sin}\theta\,\hat{\theta}

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

h_r = 1 \qquad h_\theta = r \qquad h_\varphi = r\,{\sin}\theta

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

\vec r = r\,\hat{r}

Nótese que no aparecen término en $\hat{\varphi}$ o $\hat{\theta}$ . La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector $\hat{r}$ .

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por

d\vec l = h_r\,dr\,\hat{r}+h_\theta\,d\theta\,\hat{\theta} +h_\varphi\,d\varphi\,\hat{\varphi} =dr\,\hat{r}+r\,d\theta\,\hat{\theta}+r\,{\sin}\,\theta\,d\varphi\,\hat{\varphi}

Diferenciales de área

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, $q_3={\rm cte.}$ el resultado es

d\vec S_{q_3={\rm cte}} = h_1\,h_2\,dq_1\,dq_2\,\hat{q}_3

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son

$r$ =cte: $d\vec S_{r={\rm cte}} = r^2\,{\sin}\theta\,d\theta\,d\varphi\,\hat{r}$
θ=cte: $d\vec S_{\theta={\rm cte}} = r\,{\sin}\theta\,dr\,d\varphi\,\hat{\theta}$
φ=cte: $d\vec S_{\varphi={\rm cte}} = r\,dr\,d\theta\,\hat{\varphi}$

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al determinante del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

dV = h_1\,h_2\,h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3

que para coordenadas esféricas en las que el ángulo vertical empieza en el eje z da

dV = r^2\,{\sin}\,\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi

y en las que el ángulo vertical empieza en el plano XY da

dV = r^2\,{\cos}\,\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi

Operadores diferenciales en coordenadas esféricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:

Gradiente

\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{e}_r +\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{e}_\theta + \frac{1}{r\,{\sin}\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{e}_\varphi

Divergencia

\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\,{\sin}\,\theta}\frac{\partial({\sin}\,\theta\,F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\,{\sin}\,\theta}\frac{\partial(F_\varphi)}{\partial \varphi}

Rotacional

\nabla\times \vec F=\frac{1}{r^2{\sin}\,\theta}\left| \begin{matrix} \hat{r} & r\,\hat{\theta} & r\,{\sin}\,\theta\,\hat{\varphi} \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi} \\ & & \\ F_r & rF_\theta & r{\sin}\,\theta\,F_\varphi \end{matrix}\right|

Laplaciano

\nabla^2\phi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\phi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\,{\sin}\,\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \left({\sin}\,\theta\frac{\partial\phi}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2{\sin}^2\theta}\frac{\partial^2\phi}{\partial \varphi^2}

Véase también

En inglés: Spherical coordinate system Facts for Kids

Sistema de coordenadas
Coordenadas geográficas
Coordenadas cartesianas
Coordenadas cilíndricas
Factores de escala

Obtenido de «https://ninos.kiddle.co/index.php?title=Coordenadas_esféricas&oldid=3759130»

Todo el contenido de los artículos de la Enciclopedia Kiddle (incluidas las imágenes) se puede utilizar libremente para fines personales y educativos bajo la licencia Atribución-CompartirIgual a menos que se indique lo contrario. Citar este artículo:

Coordenadas esféricas para Niños. Enciclopedia Kiddle.