Automorfismo para niños

Un automorfismo del grupo de cuatro de Klein que se muestra como un mapeo entre dos gráficos de Cayley, una permutación en notación de ciclo y un mapeo entre dos tablas de Cayley

En matemáticas, un automorfismo es como una transformación especial que toma un objeto matemático y lo convierte en sí mismo, pero de una manera que mantiene todas sus características importantes. Imagina que tienes una figura geométrica, como un cuadrado. Un automorfismo sería girar el cuadrado o voltearlo, pero de tal forma que al final sigue siendo el mismo cuadrado, con sus lados y ángulos iguales.

El conjunto de todos los automorfismos de un objeto forma lo que se llama un grupo de automorfismos. Este grupo nos ayuda a entender las simetrías de ese objeto. Piensa en las diferentes maneras en que puedes mover un cuadrado para que se vea exactamente igual: girarlo 90 grados, 180 grados, 270 grados, o voltearlo. Todas esas son simetrías, y juntas forman el grupo de automorfismos del cuadrado.

¿Qué es un automorfismo?

Un automorfismo es una función especial que cumple dos cosas importantes:

• Es una función que va de un objeto a sí mismo.
• Mantiene la estructura del objeto. Esto significa que si el objeto tiene reglas o relaciones entre sus partes, el automorfismo las respeta.

Automorfismos en conjuntos

Cuando hablamos de conjuntos (colecciones de elementos sin un orden específico), un automorfismo es simplemente una forma de reorganizar los elementos del conjunto sin añadir ni quitar ninguno. Es como si tuvieras un grupo de amigos y los cambias de asiento, pero sigues teniendo los mismos amigos. A esto se le llama una permutación.

Automorfismos en números enteros

Los números enteros (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) pueden tener diferentes estructuras.

Automorfismos con la suma

Si consideramos los números enteros solo con la operación de la suma, hay dos automorfismos posibles:

• La función que deja cada número igual: f(x) = x. Por ejemplo, si sumas 2 + 3 = 5, la función te da 2 + 3 = 5.
• La función que cambia cada número a su opuesto: f(x) = -x. Por ejemplo, si sumas 2 + 3 = 5, la función te da -2 + -3 = -5. Esta función mantiene la relación de la suma.

Automorfismos con la suma y la multiplicación

Si consideramos los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, la cosa cambia. Un automorfismo debe respetar ambas operaciones. En este caso, la única función que funciona es la que deja cada número igual: f(x) = x. La función f(x) = -x no sirve aquí, porque aunque respeta la suma, no respeta la multiplicación (por ejemplo, (-2) * (-3) = 6, pero f(2) * f(3) = (-2) * (-3) = 6, mientras que f(2*3) = f(6) = -6. Como 6 no es igual a -6, no funciona).

La simetría en los automorfismos

En todos estos ejemplos, el grupo de automorfismos nos muestra la simetría del objeto:

• En los conjuntos, al no tener una estructura especial, cualquier reordenamiento de sus elementos es una simetría.
• En los números enteros con solo la suma, hay una simetría entre los números positivos y negativos. Puedes cambiar todos los números por sus opuestos y la suma sigue funcionando igual.
• Pero cuando añadimos la multiplicación, esa simetría desaparece. Los números positivos y negativos se comportan de manera diferente con la multiplicación, por lo que la única simetría que queda es la de dejar los números como están.

Véase también

En inglés: Automorphism Facts for Kids