Ventana (función) para Niños

Las ventanas son funciones matemáticas usadas con frecuencia en el análisis y el procesamiento de señales para evitar las discontinuidades al principio y al final de los bloques analizados.

En el procesamiento de señales, una ventana se utiliza cuando el análisis se centra en una señal de longitud voluntariamente limitada. En efecto, una señal real tiene que ser de tiempo finito; además, un cálculo sólo es posible a partir de un número finito de puntos. Para observar una señal en un tiempo finito, se multiplica por una función ventana.

La más simple es la ventana rectangular, que se define como:

$h(t) = \begin{cases} 1 & \mbox{ si } t \in [0,T] \\ 0 & \mbox{ resto.} \end{cases}$

Así, al multiplicar una señal $s(t)$ por esta ventana, se obtienen únicamente los $T$ primeros segundos de la señal: se observa la señal en un intervalo $T$ . En vez de estudiar la señal $s(t)$ , se estudia la señal truncada: $s_h(t) = s(t) \cdot h(t)$ . Al pasar al dominio de la frecuencia, mediante una transformada de Fourier, se obtiene el producto de convolución $S_h(f) = S(f) \ast H(f)$ , donde $H(f)$ es la TF de la ventana.

La utilización de una ventana cambia el espectro en la frecuencia de la señal. Existen distintos tipos de ventana que permiten obtener distintos resultados en el dominio de las frecuencias.

Aplicaciones

Las funciones de ventana son usadas en análisis/modificación/resíntesis de espectro, el diseño de filtros de respuesta de impulsos finita, así como conformación de haces en el diseño de antenas.

Ventanas típicas

Algunas ventanas en su forma discreta de tamaño $N\,$ , donde $0\le \; n\le \; N-1\,$

Rectangular

$v(n) = 1\,$

Hanning

$v(n)= a_0 - a_1\; \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0,5;\quad a_1=0,5\quad\,$

Frecuentemente la ventana de Hann aparece con el nombre de ventana de Hanning, en analogía con la ventana de Hamming, debido a una confusión de los apellidos de los dos autores: Julius von Hann y Richard Hamming, respectivamente. Otro nombre común para esta ventana es coseno elevado.

Hamming

$v(n)= a_0 - a_1\; \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0,53836;\quad a_1=0,46164\quad\,$

Blackman

$v(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) + a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0,42;\quad a_1=0,5;\quad a_2=0,08\,$

Blackman-Harris

$v(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0,35875;\quad a_1=0,48829;\quad a_2=0,14128;\quad a_3=0,01168\,$

Blackman-Nuttall

$v(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=0,3635819; \quad a_1=0,4891775; \quad a_2=0,1365995; \quad a_3=0,0106411\,$

Flat top

$v(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right)+ a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)- a_3 \cos \left ( \frac{6 \pi n}{N-1} \right)+a_4 \cos \left ( \frac{8 \pi n}{N-1} \right)$

$a_0=1;\quad a_1=1,93;\quad a_2=1,29;\quad a_3=0,388;\quad a_4=0,032\,$

Gauss

$v(n)=e^{-\frac{1}{2} \left ( \frac{n-(N-1)/2}{\sigma (N-1)/2} \right)^{2}}$

$\sigma \le \;0,5\,$

Triangular

$v(n)=\frac{N}{2}-\left |n-\frac{N-1}{2}\right |\,$

Bartlett

$v(n)=\frac{N-1}{2}-\left |n-\frac{N-1}{2}\right |\,$

Bartlett-Hann

$v(n)=a_0 - a_1 \left |\frac{n}{N-1}-\frac{1}{2} \right| - a_2 \cos \left (\frac{2 \pi n}{N-1}\right )$

$a_0=0,62;\quad a_1=0,48;\quad a_2=0,38\,$

Kaiser

w_k = \left\{ \begin{matrix} \frac{I_0(\pi\alpha \sqrt{1 - (2k/n-1)^2})} {I_0(\pi\alpha)} & \mbox{si } 0 \leq k \leq n \\ \\ 0 & \mbox{resto} \\ \end{matrix} \right.

donde I₀ es la función de Bessel modificada de primer tipo de orden cero, α es un número real arbitrario que determina la forma de la ventana y n es un número natural que determina el tamaño de la ventana.

Véase también

En inglés: Window function Facts for Kids

Transformada de Fourier discreta
Ventana de Kaiser

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