Proyección (matemáticas) para niños
Una proyección en matemáticas es como cuando la luz crea una sombra de un objeto. Es una forma de "aplanar" o "transformar" algo más grande en algo más simple, como un punto o una figura en un plano.
Lo interesante de una proyección es que si la aplicas dos veces, el resultado es el mismo que si la aplicaras solo una vez. Imagina que ya tienes una sombra en el suelo; si intentas proyectar esa sombra de nuevo, seguirá siendo la misma sombra. A esto se le llama ser "idempotente".
Contenido
¿Qué es una Proyección en Geometría?
En geometría, la idea de proyección surgió para dibujar objetos tridimensionales en una superficie plana, como un papel.
Tipos de Proyecciones Geométricas
Hay dos tipos principales de proyecciones geométricas:
Proyección Central
Imagina que tienes una linterna (el "centro de proyección") en un punto fijo. Si apuntas la linterna a un objeto, su sombra se proyecta en una pared (el "plano"). Cada punto del objeto se conecta con la linterna mediante una línea, y donde esa línea cruza la pared, ahí está el punto proyectado. Si una parte del objeto está en una línea paralela a la pared que pasa por la linterna, no tendrá sombra en esa pared.
Proyección Paralela
Piensa en los rayos del sol. Son paralelos entre sí. Si el sol brilla sobre un objeto, su sombra se forma en el suelo. En este caso, la dirección de los rayos es la misma para todos los puntos. La imagen de un punto se encuentra donde una línea paralela a la dirección de los rayos, que pasa por ese punto, se cruza con el plano.
Usos de las Proyecciones Geométricas
Las proyecciones son muy importantes para:
- Mapas: Los cartógrafos usan diferentes "sistemas de proyección" para dibujar la Tierra esférica en un mapa plano.
- Dibujo y Arte: La teoría de la perspectiva en el arte se basa en proyecciones para crear la ilusión de profundidad en un dibujo.
- Geometría Proyectiva: Esta rama de las matemáticas estudia las propiedades de las figuras que no cambian cuando se proyectan. Ayuda a entender y unificar los diferentes tipos de proyecciones.
Proyecciones en Otras Áreas de las Matemáticas
La idea de proyección se ha extendido a otras áreas de las matemáticas, aunque a veces de formas más abstractas.
Proyecciones en la Teoría de Conjuntos
En la teoría de conjuntos, que estudia colecciones de objetos:
- Elegir un elemento: Si tienes una lista de cosas, como (manzana, plátano, naranja), una proyección puede ser simplemente "elegir el segundo elemento", que sería el plátano. Esto se usa mucho con las coordenadas de un punto, por ejemplo, en (x, y, z), la proyección puede ser solo el valor de 'x'.
- Agrupar elementos: A veces, una proyección agrupa elementos que son "equivalentes" o "similares" entre sí. Es como si tuvieras un grupo de amigos y los proyectaras en "el grupo de los que les gusta el fútbol".
Proyecciones en Álgebra Lineal
En álgebra lineal, que trabaja con vectores y espacios:
- Una proyección es una transformación que, al aplicarse dos veces, da el mismo resultado. Por ejemplo, si tienes un punto en el espacio (x, y, z) y lo proyectas sobre el plano XY, obtienes (x, y, 0). Si vuelves a proyectar (x, y, 0) sobre el plano XY, sigue siendo (x, y, 0).
- Estas proyecciones pueden ser como "sombras" que caen en un espacio de menor dimensión.
Proyecciones en Topología
La topología estudia las propiedades de los espacios que se mantienen aunque se estiren o doblen.
- Un "retracto" es un tipo de proyección continua que "encoge" un espacio sobre una parte de sí mismo, de tal manera que los puntos de esa parte se quedan en su lugar. También cumple la condición de ser idempotente.
Galería de imágenes
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La conmutatividad de este diagrama es la universalidad de la proyección π, para cualquier mapeo f y conjunto X
Véase también
En inglés: Projection (mathematics) Facts for Kids
