Inmersión (matemáticas) para niños

La botella de Klein, inmersa en el espacio tridimensional.

En matemáticas, una inmersión es una aplicación diferenciable entre variedades diferenciables cuya derivada es inyectiva en todo punto. Explícitamente, f : M → N es una inmersión si:

es una función inyectiva en cada punto p de M (donde la notación T_pX representa el espacio tangente de X en el punto p). Equivalentemente, f es una inmersión si su derivada tiene rango constante e igual a la dimensión de M:

La propia función f no necesariamente debe ser inyectiva, sólo su derivada.

Un concepto relacionado es el de incubamiento (embedding). Un incubamiento es una inmersión inyectiva f : M → N que también es un incubamiento topológico, de tal manera que M es difeomórfica con su imagen en N. Una inmersión es claramente un incubamietno local, es decir, para un punto x ∈ M existe una vecinidad, U ⊂ M, de x tal que f: U → N es un incubamiento, y recíprocamente un incubamiento local es una inmersión. Para variedades de dimensión infinita, esto a veces se toma como la definición de inmersión.

Una subvariedad inyectivamente inmersa que no es un incubamiento.

Si M es compacto, una inmersión inyectiva es un incubamiento, pero si M no es compacto entonces las inmersiones inyectivas no son necesariamiente incubamientos, análogamente a la relación que existe entre biyecciones continuas y homeomorfismos.

Homotopía regular

Una homotopía regular entre dos inmersiones f y g de una variedad M a otra variedad N se define como una aplicación diferenciable H : M × [0,1] → N al que para todo t in [0, 1] la función H_t: M → N definida por H_t(x) = H(x, t) para todo x ∈ M es una inmersión, con H₀ = f, H₁ = g. Una homotopía regular es por tanto una homotopía de inmersiones.

Clasificación

Hassler Whitney inició el estudio sistemático de las inmersiones y las homotopías regulares en los años 1940, y demostró que para 2m < n+1 toda aplicación f: M^m → Nⁿ de una variedad m-dimensional a una variedad n-dimensional es homotópica con una inmersión, y de hecho lo es a un incubamiento para 2m < n; estos dos resultados constituyen el teorema de inmersión de Whitney y el teorema de incubamiento de Whitney.

Stephen Smale expresó las clases de inmersión de homotopías regulares f : M^m → Rⁿ como los grupos de homotopía de una variedad de Stiefel. La eversión de la esfera es un consecuencia particularmente notable de este hecho. Morris Hirsch generalizó la expresión de Smale a una descripción en el marco de la teoría de la homotopía de las clases de homotopía regular de inmersiones de variedades m-dimensionales M^m en variedades n-dimensionales. La clasificación de Hirsch-Smale de las inmersiones fue generalizadas más aún por Mikhail Gromov.

Existencia

La banda de Möbius no puede ser inmersa en codimensión 0 porque su fibrado tangente es no-trivial.

El obstáculo principal para la existencia de una inmersión i : M^m → Rⁿ es el fibrado normal estable de M, como es exhibido por sus clases características, particularmente sus clases de Stiefel-Whitney. Es decir, puesto que es paralelizable, el pullback de su fibrado tangente a M es trivial, puesto que este pullback es la suma directa del fibrado tangente (intrínsecamente definido) TM, que tiene dimensión m, y del fibrado normal ν de la inmersión i, que tiene dimensión n-m.

Véase también

En inglés: Immersion (mathematics) Facts for Kids

• Submersión
• Subvariedad inmersa
• Inmersión isométrica
• Teorema de inmersión de Nash