Función compuesta para Niños

g ∘ f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g ∘ f)(a)=@.

En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g[f(x)] para todo x perteneciente a X. Se lee "f compuesta con g", "f en g", "f entonces g", "g de f" o "g círculo f". F°G= F[g(x)] queriendo decir que x pertenece a dominio de g y g(x) pertenece a F.

Definición

De manera formal, dadas dos funciones:

\begin{array}{rccl} f : & X & \longrightarrow & Y \\ & x & \longmapsto & y = f(x) \end{array}

\begin{array}{rccl} g : & Y & \longrightarrow & Z \\ & y & \longmapsto & z = g(y) \end{array}

donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición de f con g (nótese que las funciones se nombran en el orden de aplicación a la variable, no en el orden sucesivo de representación):

\begin{array}{rccl} (g \circ f) : & X & \longrightarrow & Z \\ & x & \longmapsto & z = g(f(x)) \end{array}

A todos los elementos de X se le asocia una elemento de Z según: $z = g(f(x))$ .

\begin{array}{rclcl} X & \longrightarrow & Y & \longrightarrow & Z \\ x & \longmapsto & y = f(x) & \longmapsto & z = g(f(x)) \end{array}

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

Propiedades

La composición de funciones es asociativa, es decir:

$h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f$

La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

$(g \circ f) \neq (f\circ g)$

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².

El elemento neutro y también asociado a la composición de funciones es la función identidad.

Con las tres propiedades anteriores: asociativa, no conmutativa y elemento neutro, las funciones reales de variable real constituyen un monoide para la operación interna de composición de funciones.

Además, la inversa de la composición de dos funciones es:

$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$

Ejemplo

Sean las funciones:

f(x) = x^2 \,

g(x) = \sin(x) \,

La función compuesta por ende x de g y de f que expresamos:

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g((x^2)) = \sin(x^2) \,

La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

z = g(x)=\sin(x) \,

y después aplicamos f a z para obtener

y = f(z) = z^2 = \sin^2(x) \,

Función bien definida

La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:

Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ∘ f) cumple la condición de existencia.
Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g(f(x)).

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Composition». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
"Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Véase también

En inglés: Function composition Facts for Kids

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